روش‌های تکراری و پیش‌شرط‌سازی برای حل دستگاه معادلات خطی بزرگ و تُنُک

بسیاری از مدل‌های مختلف در علوم و مهندسی توسط معادلات دیفرانسیل فرمول‌بندی می‌شوند؛ برای مثال مسئله‌های انتقال حرارت، حرکت موج، حرکت سیال و .... حل عددی این‌گونه مسائل به‌کمک روش‌های تفاضلات متناهی یا المان‌های محدود منجر به حل دستگاه معادلات خطی می‌شوند که اغلب ابعاد آنها بزرگ و تُنُک هستند. همچنین، مسائل مختلفی در علوم داده وجود دارند که برای حل آنها لازم است دستگاه‌هایی تنک با ابعاد بزرگ حل شوند؛ برای مثال مسئلۀ رتبه‌صفحه یکی از این مسائل است.
حل این‌گونه دستگاه‌ها با استفاده از روش‌های مستقیم، مثل روش حذفی گاوس، با هزینه‌های زیادی همراه است و حتی گاهی ناممکن می‌باشد. دو دلیل عمده این است که اولاً انباشتگی خطا در روش‌های مستقیم زیاد است، ثانیاً حافظۀ زیادی از رایانه را اشغال می‌کنند. ازاین‌رو، از روش‌های تکراری برای حل آنها استفاده می‌شود.

به‌طور کلی، دو دسته روش تکراری برای حل دستگاه معادلات خطی وجود دارد: روش‌های تکراری ایستا و غیر‌ایستا. در این کتاب تعداد زیادی از رو‌ش‌های تکراری را مطالعه می‌کنیم. نخست، یک روش تکراری ایستا را در حالت کلی تعریف کرده و شرایط همگرایی آن را مطالعه می‌کنیم. سپس چند حالت خاص آن را معرفی می‌کنیم. از روش‌های تکراری ایستا، روش‌های‌ تکراری AOR‌ (در حالت خاص، روش‌های تکرای ژاکوبی، گاوس‌-سایدل، SOR ،HSS ، ریچاردسون، و ... را مطالعه می‌کنیم. همچنین، نیمه‌همگرایی روش‌های تکراری ایستا را نیز بررسی می‌کنیم. سپس به معرفی عملگرهای تصویر و خواص آنها می‌پردازیم. عملگرهای تصویر نقش اساسی در آنالیز عددی و اساس روش‌های تصویری برای حل دستگاه معادلات خطی است. اغلبِ روش‌های تکراری غیرایستا برای حل دستگاه معادلات خطی براساس عملگرهای تصویر است که فضای‌های مورد استفاده در آنها زیرفضای کرایلف می‌باشد. از روش‌های تکراری غیرایستا، روش‌های تکراری ماندۀ مینیمال، سریع‌ترین کاهش، گرادیان مزدوج، ماندۀ مینیمال تعمیم‌یافته، BiCGSTAB ، و ... را بررسی می‌کنیم.

یکی از مشکلات اساسی روش‌های تکراری کُندبودن سرعت همگرایی آنهاست و برای بهبود سرعت همگرایی از راه‌کار پیش‌شرط‌سازی استفاده می‌شود. در این کتاب، مفاهیم اساسی پیش‌شرط‌سازی و شیوۀ پیش‌شرط‌سازی روش‌های تکراری را بیان کرده و در ادامه، چندین شیوۀ محاسبۀ پیش‌شرط‌ساز‌ها را ارائه می‌کنیم. اغلبِ روش‌های تکراری ارائه‌شده و شیوه‌های پیش‌شرط‌سازی آنها، با مثال‌های عددی مورد آزمایش قرار می‌گیرند.

در فصل پایانی، مسئلۀ نقطۀ زینی که یکی از مسائل مهم در بهینه‌سازی و مکانیک سیالات می‌باشد را مطالعه کرده و روش‌های پیش‌شرط‌سازی این‌گونه مسائل را بررسی می‌کنیم.